Question

17．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是$\frac{3}{4}$，乙猜对歌名的概率是$\frac{2}{3}$，丙猜对歌名的概率是$\frac{1}{2}$．甲、乙、丙猜对互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$，即可得出．
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由题意可得：ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）$+$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{3}{4}）$+$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{7}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{32}$，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{9}{32}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{1}{32}$

∴Eξ=0+1×$\frac{7}{16}$+$2×\frac{9}{32}$+3×$\frac{1}{32}$=$\frac{35}{32}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．