Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥CD，AD=AP=2，CD=3，AB=1，点E在棱PC上，且PE=$\frac{1}{3}$PC．
（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）求直线BE和平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作EF∥CD，与PD交于F，连接AF，则EF∥AD，证明：EFAB是平行四边形，可得BE∥AF，即可证明BE∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：CD⊥平面PAD，即可证明平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）直线AF和平面PBD所成角=直线BE和平面PBD所成角，即可求直线BE和平面PBD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：作EF∥CD，与PD交于F，连接AF，则EF∥AD，
∵PE=$\frac{1}{3}$PC，CD=3，
∴EF=1，
∵AB=1，
∴EFAB是平行四边形，
∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：∵BE∥AF，
∴直线AF和平面PBD所成角=直线BE和平面PBD所成角，
△PBD中，PB=BD=$\sqrt{5}$，PD=2$\sqrt{2}$，∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
设A到平面PBD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
△PAF中，PF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，PA=2，∠APF=45°，∴AF=$\sqrt{4+\frac{8}{9}-2×2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴直线BE和平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．