Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，且D是BC的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱， ，， 连结，交于点O，连结OD， 由是直三棱柱， 得四边形为矩形， O为A1C的中点， 又D为BC中点， 所以OD为中位线， 所以∥OD，              因为平面，平面， 所以∥平面。
（Ⅱ）解：由是直三棱柱， 且， 故两两垂直， 如图建立空间直角坐标系B-xyz ，       ∵BA=2， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则有所以， 取y=1，得， 易知平面ADC的法向量为， 由二面角是锐角， 得， 所以二面角的余弦值为。 （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E， 因为E 在线段上，，， 故可设，其中， 所以，， 因为与成60°角， 所以，即， 解得λ=1，舍去λ=3， 所以当点E为线段中点时，AE与DC1成60°角。