Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点为，，椭圆上任意一点，满足，且椭圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线 （为参数）上，线段的中垂线与交于两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在点符合条件，坐标为.

【解析】

（1）设，，，根据题意列出方程，联立求解即可；

（2）直线参数方程转换为普通方程，当直线垂直于轴时，三点共线不符合题意；当直线不垂直与轴时，设存在点，直线的斜率为，，，，，根据题意利用圆的性质和垂直向量点积为0，列出方程求解可得答案.

解：（1）设，，，则 ，

,

椭圆过点， ②

联立①②解得：

所求椭圆方程为：

（2）将直线的参数方程： （为参数）化为普通方程，

当直线垂直于轴时，直线方程为：，

此时 ，与点三点共线，不合题意；

当直线不垂直与轴时，设存在点，直线的斜率为，，，，

由 得：，则 ，故

此时，直线斜率为，的直线方程为，即

联立，整理得：

所以，

由题意，于是

，因为在椭圆内，，符合题意；

综上，存在点符合条件，坐标为.