Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个相异零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）对f′（x）中的k分类讨论，根据f′（x）的正负判断函数的单调性即可.

（2）由题意得lnx1﹣kx1＝0，lnx2﹣kx2＝0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2）,k＝，要证lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，将k代换后，化简变形得，设t1，构造函数g（t），利用新函数的导数求出单调区间，证得g（t）＞g（1）＝0即可．

（1），

①当时，，在区间上单调递增；

②当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（2）因为，是的两个零点，则，，

所以，.

要证，只要证，即证，

即证，即证，只要证.

设，则只要证.

设，则，所以在上单调递增.

所以，即，所以，即.