【题目】已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线
上的定点时,求直线
的方程;
(3) 当点在直线
上移动时,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】试题分析:(1)设拋物线的方程为
,利用点到直线的距离,求出
,得到抛物线方程;(2)对抛物线方程求导,求出切线
的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线
的方程;(3)由拋物线定义可知
,联立直线与抛物线方程,消去
,得到一个关于
的一元二次方程,由韦达定理求得
的值,还有
,将
表示成
的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解:(1)依题意,设拋物线的方程为
,由
结合
,
解得,所以拋物线
的方程为
.
(2)拋物线的方程为
,即
,求导得
,
设 (其中
)则切线
的斜率分别为
,
所以切线的方程为
,即
,即
,
同理可得切线的方程为
,
因为切线均过点
,所以
,
,
所以为方程
的两组解,
所以直线的方程为
.
(3)由拋物线定义可知,
联立方程,消去
整理得
.
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线
上,所以
,
所以,
所以当时,
取得最小值,且取得最小值为
.
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
两两互相垂直,
,点
,
分别在侧面
、棱
上运动,
,
为线段
中点,当
,
运动时,点
的轨迹把三棱锥
分成上、下两部分的体积之比等于( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,在梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
,且满足
?若不存在,请说明理由;若存在,求出
的长度.
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【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在岁到
岁的人群中随机调查了
人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这
人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如图所示:
年龄 | 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 |
(1)由频率分布直方图,估计这人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下,认为以
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:
参考数据:
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【题目】如上图所示,在正方体中,
分别是棱
的中点,
的顶点
在棱
与棱
上运动,有以下四个命题:
A.平面
; B.平面
⊥平面
;
C.
在底面
上的射影图形的面积为定值;
D.
在侧面
上的射影图形是三角形.其中正确命题的序号是__________.
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【题目】产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工r产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标.下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图.
在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.
据上述信息,下列结论中正确的是( ).
A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高
C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高
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【题目】在甲地,随着人们生活水平的不断提高,进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式.我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人,否则称为“无习惯的人”.某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民,他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表:
(1)以年龄45岁为分界点,请根据100个样本数据完成下面列联表,并判断是否有
的把握认为“有习惯”的人与年龄有关;
(2)已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人,以频率估计概率,若每张电影票定价为元
,则在“有习惯”的人中约有
的人会买票看电影(
为常数).已知票价定为30元的某电影,票房达到了 69.3万元.某新影片要上映,电影院若将电影票定价为25元,那么该影片票房估计能达到多少万元?
参考公式:,其中
.
参考临界值
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