Question

8．如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2$\sqrt{2}$，M是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；
（Ⅲ）求直线BC与平面BDM的所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM；
（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；
（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是∠CBM直线BC与平面BDM的所成角，在Rt△CBM中求解即可．

解答 解：（I）证明：连接MO．
∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．
又MO?平面BDM，PA?平面BDM，∴PA∥平面BDM．
（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=$\sqrt{3}$．
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=$\frac{1}{2}$BD=1，
又MO=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{2}$，∴DO²+MO²=DM²，∴BD⊥MO．
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
又MO?平面PAC，AC?平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．
（Ⅲ）∵BD⊥平面PAC，PC?面PAC，∴DB⊥PC，
又PD=DC，M是PC的中点，∴DM⊥PC，且DM∩DB=D，∴PC⊥平面BDM，
于是∠CBM直线BC与平面BDM的所成角，在Rt△CBM中，sin∠CBM=$\frac{CM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴∠CBM=$\frac{π}{6}$．
直线BC与平面BDM的所成角的大小$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，面面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．