Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x，（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导后判定函数的单调性，利用单调性求最值；（2）先化简g（x），得到其值域，将问题转化为当0＜m≤1时，f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根．通过分类讨论确定两个不同的根时a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，f′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，
则函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，在区间[2，e]上为增函数，
又f（1）=0＞f（e）=e-3，
则f（x）_max=f（1）=0，
f（x）_min=f（2）=1-2ln2．
（2）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
则函数g（x）在区间（0，1]上为增函数，在区间[1，e]上为减函数，
又g（0）=0＜g（e）=e^2-e，g（1）=1，
则函数g（x）的值域为（0，1]．
则原问题转化为：当0＜m≤1时，f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根．
而f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

．
当a≥2时，函数f（x）在区间（0，e]上为减函数，不符合题意．
当2-

2

e

≤a＜2时，有

2

2-a

≥e，函数f（x）在区间（0，e]上为减函数，不符合题意．
当a＜2-

2

e

时，有0＜

2

2-a

＜e，
此时函数f（x）在区间(0，

2

2-a

]上为减函数，在区间[

2

2-a

，e]上为增函数，
而当x趋于零时，f（x）趋于正无穷，且最小值为f(

2

2-a

)．
要使f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根，则f(

2

2-a

)＜m≤f(e)．
又0＜m≤1，且f(

2

2-a

)≤f(1)=0，
故只要f（e）≥1，得a≤2-

3

e-1

．
而2-

2

e

＞2-

3

e-1

，
从而有a≤2-

3

e-1

．

点评：本题第一问比较简单，第2问要先化简g（x），求出其值域后将问题转化，且转化后也需要讨论单调性以确定何时有两个不同的根，属于难题．