Question

3．已知函数f（x）=x³-2x²+x+3，x∈[-2，1]．求：
（1）f（x）的单调区间        
（2）f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；
（2）求出函数在[-2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x³-2x²+x+3，得f′（x）=3x²-4x+1，
由3x²-4x+1＞0，得x$＜\frac{1}{3}$或x＞1；由3x²-4x+1＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴f（x）的单调增区间为[-2，$\frac{1}{3}$）；单调减区间为（$\frac{1}{3}，1$]；
（2）由（1）知，f（x）在[-2，$\frac{1}{3}$）上为增函数，在（$\frac{1}{3}$，1]上为减函数，
又f（-2）=-15，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{85}{27}$，f（1）=3．
∴f（x）的值域为[-15，$\frac{85}{27}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．