Question

8．若数列…，a_-2，a_-1，a₀，a₁，a₂，…满足${a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}{3}（{n∈Z}）$，则称{a_n}具有性质A．
（Ⅰ）若数列{a_n}、{b_n}具有性质A，k为给定的整数，c为给定的实数．以下四个数列中哪些具有性质A？请直接写出结论．
①{-a_n}；②{a_n+b_n}；③{a_n+k}；④{ca_n}．
（Ⅱ）若数列{a_n}具有性质A，且满足a₀=0，a₁=1．
（i）直接写出a_-n+a_n（n∈Z）的值；
（ii）判断{a_n}的单调性，并证明你的结论．
（Ⅲ）若数列{a_n}具有性质A，且满足a_-2004=a₂₀₁₅．求证：存在无穷多个整数对（l，m），满足a_t=a_m（l≠m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由新定义可知①②③④均具有性质A；
（Ⅱ）（i）a_-n+a_n=0（n∈Z）；
（ii）用数学归纳法证明当n∈N时，{a_n}单调递增；
（Ⅲ）令b_k=a_k-2014，c_k=a_2015-k，可知其满足b₀=a_-2014=a₂₀₁₅=c₀，b₄₀₂₉=a_4029-2014=a₂₀₁₅=a_-2014=a_2015-4029=a₄₀₂₉．
记d_k=b_k-c_k，则{d_k}也具有性质A，且d₀=d₄₀₂₉=0，然后分d₁≠0和d₁=0证明存在无穷多个整数对（l，m），满足a_t=a_m（l≠m）．

解答 解：（Ⅰ）①②③④；
（Ⅱ）（i）a_-n+a_n=0（n∈Z）；
（ii）（1）用数学归纳法证明当n∈N时，有a_n+1＞a_n．
当n=0时，结论成立；
设n=k时（k∈N）时，有a_k+1＞a_k，
则当n=k+1时，有a_k+2=3a_k+1-a_k＞2a_k+1+（2a_k+1-a_k）＞2a_k+1＞a_k+1．
故a_n+1＞a_n（n∈N）；
（2）当n＜0时，由（ii），有a_n=-a_-n，a_n+1=-a_-（n+1），
当-n≥-（n+1）≥0，得a_-n＞a_-（n+1），即-a_n＞-a_n+1，即a_n+1＞a_n．
由（1），（2），有a_n+1＞a_n（n∈Z），故{a_n}单调递增；
（Ⅲ）令b_k=a_k-2014，c_k=a_2015-k，
其满足b₀=a_-2014=a₂₀₁₅=c₀，b₄₀₂₉=a_4029-2014=a₂₀₁₅=a_-2014=a_2015-4029=a₄₀₂₉．
记d_k=b_k-c_k，则{d_k}也具有性质A，且d₀=d₄₀₂₉=0，
若d₁≠0，则令${x}_{k}=\frac{{d}_{k}}{{d}_{1}}$，{x_k}也具有性质A，且x₀=0，x₁=1．
由（Ⅱ）知，{x_n}单调递增，则0＞x₄₀₂₉＞x₁=1，矛盾；
故d₁=0，从而，由${d}_{n}=\frac{{d}_{n-1}+{d}_{n+1}}{3}$（n∈Z），及d₀=d₁=0，可得d_n=0（n∈Z），
即b_n-c_n=0，a_n-2014-a_2015-n=0，a_n-2014=a_2015-n对一切整数n成立．
故可取m=n-2014，l=2015-n（n∈Z），易得m，l∈Z，m≠l，（否则n=$\frac{4029}{2}$∉Z），（l，m）满足题意，
由n有无穷多种取值，且不同的整数n对应不同的整数对（l，m），
知这样的整数对（l，m）有无穷多个．

点评 本题考查数列的应用，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力和推理运算能力，难度较大．