Question

18．函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[-2，0]时，f（x）=2x+1，若存在x₁，x₂，…x_n满足0≤x₁＜x₂＜…＜x_n，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n-1-f（x_n））|=2016，则n+x_n的最小值为1513．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为[-3，1]，对任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=4，要使m取得最小值，尽可能多让x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后可得n+x_n的最小值．

解答 解：∵函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[-2，0]时，f（x）=2x+1，
∴函数的值域为[-3，1]，对任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=4，
要使n+x_n取得最小值，尽可能多让x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f（0）=1，f（2）=-3，
∵0≤x₁＜x₂＜…＜x_m，|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x  _n-1）-f（x_n）|=2016，
∴n的最小值为$\frac{2016}{4}+1=505$，相应的x_n最小值为1008，则n+x_n的最小值为1513．
故答案为：1513．

点评 本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题