Question

定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，从而可得f（x）+f（-x）=0，从而证明；
（Ⅱ）F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点可化为asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解，即a=

-sinx-cos2x+3

sinx

=sinx+

2

sinx

-1；从而求解．

解答： 解：（Ⅰ）证明：令x=y=0，则f（0）=2f（0），
则f（0）=0；
再令y=-x，则有
f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
且f（x）定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．
（Ⅱ）F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零点．
∴f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=-f（sinx+cos²x-3）=f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；
又∵函数f（x）是R上的单调函数，
∴asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a=

-sinx-cos2x+3

sinx

=sinx+

2

sinx

-1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
则a=t+

2

t

-1；
∵y=t+

2

t

在（0，1]上单调递减，
∴a≥2．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断与函数的单调性的应用，属于基础题．