Question

已知，向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

2

，-1）．
（1）

a

∥

b

且0≤θ≤π，求sin2θ的值；
（2）f（θ）=|

a

-

b

|²，若f（θ）≤m对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数恒成立问题,向量的模,平行向量与共线向量

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的坐标表示，及同角的平方关系和二倍角的正弦公式，即可计算得到；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式和正弦函数的值域，求得最大值，由条件可令m不小于最大值即可．

解答： 解：（1）向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

2

，-1），
由于

a

∥

b

且0≤θ≤π，
则

2

sinθ=-cosθ，由于sin²θ+cos²θ=1，
解得，sinθ=

3

3

，cosθ=-

6

3

，
则sin2θ=2sinθcosθ=2×

3

3

×(-

6

3

)=-2

2

；
（2）f（θ）=|

a

-

b

|²=

a

2+

b

2-2

a

•

b

=1+5-2（

2

cosθ-sinθ）
=6-2

3

（

6

3

cosθ-

3

3

sinθ）
=6-2

3

sin（θ-α）（α为辅助角），
由于θ∈R，则sin（θ-α）=-1时，f（θ）取得最大值，且为6+2

3

，
f（θ）≤m对θ∈R恒成立，即为m≥6+2

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量共线的坐标表示，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题．