【题目】已知函数,
(e是自然对数的底数),对任意的
R,存在
,有
,则
的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
问题转化为f(x)max≤g(x)max,分别求出f(x)和g(x)的最大值,得到关于a的不等式,解出即可.
对任意的x1∈R,存在x2∈[,2],有f(x1)≤g(x2),
故f(x)max≤g(x)max,
f′(x)=,(x>0),
令f′(x)>0,解得:0<x<e,
令f′(x)<0,解得:x>e,
故f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,
故f(x)max=f(e)=,
g′(x)=﹣2ex+a,
①a≤0时,g′(x)≤0,g(x)在[,2]递减,
g(x)max=g()=﹣e
+
a≥
,
解得:a≥+
(舍),
②a>0时,令g′(x)=0,解得:x=,
(i)≤
即a≤
时,g(x)在[
,2]递减,
结合①,不合题意,舍,
(ii)<
<2即
<a<4e时,
g(x)在[,
)递增,在(
,2]递减,
故g(x)max=g(span>)=
≥
,
解得:a≥2;
(iii)≥2即a≥4e时,
g(x)在[,2]递增,
g(x)max=g(2)=﹣4e+2a≥,
解得:a≥2e+,
综上,a≥2,
故答案为:[2,+∞).
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【题目】判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
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【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)求证:在区间
上单调递增;并求
在区间
的反函数;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,
分别为棱
与
的中点,
为线段
上的动点,其中,
更靠近
,且
.
(1)证明: 平面
;
(2)若与平面
所成角的正弦值为
,求异面直线
与
所成角的余弦值.
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【题目】2019年10月1日为庆祝中华人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式,共有580台(套)装备、160 余架各型飞机接受检阅。受阅装备均为中国国产现役主战装备,其中包括部分首次公开亮相的新型装备。例如,在无人机作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机,可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务,进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰,甚至压制敌人的防空系统。
某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验,据测定,该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成反比,比例系数为常数.现已知相距36km的A. B两处配置两架无人机干扰源,其对敌干扰的强度分别为1和
,它们连线段上任意一点C处的干扰指数y等于两机对该处的干扰指数之和,设
.
(1)试将y表示为x的函数,指出其定义域;
(2)当时,试确定“干扰指数”最小时C所处位置.
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【题目】设数列满足
,
,
,
.s
(1)证明:数列是等差数列,并求数列
的通项;
(2)求数列的通项,并求数列
的前
项和
;
(3)若,且
是单调递增数列,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,为椭圆
的下顶点.过
的直线
交抛物线
于
,
两点,
是
的中点.
(1)求证:点的纵坐标是定值;
(2)过点作与直线
倾斜角互补的直线
交椭圆于
,
两点.求
的值,使得
的面积最大.
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