Question

【题目】设数列满足，，，.s

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项；

（2）求数列的通项，并求数列的前项和；

（3）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2），；

（3）.

【解析】

（1）利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，并确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项；

（2）利用累加法求出数列的通项，然后利用裂项法求出数列的前项和；

（3）求出，然后分为正奇数和正偶数两种情况分类讨论，结合可得出实数的取值范围.

（1），等式两边同时减去得，

，且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

因此，；

（2），

，，

；

（3）.

当为正奇数时，，，

由，得，可得，

由于数列为单调递减数列，；

当为正偶数时，，，

由，得，可得，

由于数列为单调递增数列，.

因此，实数的取值范围是.