Question

【题目】如图，在各棱长均为2的正三棱柱中， 分别为棱与的中点， 为线段上的动点，其中， 更靠近，且.

(1)证明: 平面；

(2)若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得，结合线面垂直得.因此可得平面，即.再根据，得平面，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得N坐标，最后根据向量数量积求异面直线与所成角的余弦值.

试题解析：解：（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，

∴，

在正三棱柱中，底面，则.

又，∴平面，∴.

易证，又，∴平面.

（2）解：取的中点，的中点，则，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设 ，

则 ，

易知是平面的一个法向量，

∴ ，解得.

∴， ， ，，

∴ ，

∴异面直线与所成角的余弦值为.