【题目】如图1,在矩形中,
,
,
为
的中点,
为
中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图2).
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得
平面
? 若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)先证明平面
.再证明
.(2) 以
为原点,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系(如图),利用向量法求直线
与平面
所成角的正弦值
.(3) 假设在线段
上存在点
,使得
平面
.设
,且
,根据
平面
求得
,所以当
时,
平面
.
(1)由已知,
因为为
中点,所以
.
因为平面平面
,且平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
又因为平面
,所以
.
(2)设为线段
上靠近
点的四等分点,
为
中点.
由已知易得.
由(1)可知,平面
,
所以,
.
以为原点,
所在直线分别为
轴
建立空间直角坐标系(如图).
因为,
,
所以.
设平面的一个法向量为
,
因为,
所以 即
取,得
.
而
.
所以直线与平面
所成角的正弦值
(3)在线段上存在点
,使得
平面
.
设,且
,则
,
.
因为,所以
,
所以,
所以,
.
若平面
,则
.即
.
由(2)可知,平面的一个法向量
,
即,解得
,
所以当时,
平面
.
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【题目】如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点,那么称这个点为"好点".下列四个点P1(1,1),P2(1,2),P3(,
),P4(2,2)中,"好点"有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知函数
(1)若,是否存在
,使得
为偶函数,如果存在,请举例并证明,如果不存在,请说明理由;
(2)若,判断
在
上的单调性,并用定义证明;
(3)已知,存在
,对任意
,都有
成立,求
的取值范围.
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
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【题目】判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是
的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
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【题目】判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
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【题目】如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,
分别为棱
与
的中点,
为线段
上的动点,其中,
更靠近
,且
.
(1)证明: 平面
;
(2)若与平面
所成角的正弦值为
,求异面直线
与
所成角的余弦值.
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