Question

【题目】如图，在多面体中， 平面，直线与平面所成的角为30°，为的中点.

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）60°

【解析】分析：

(Ⅰ)由BD⊥平面ABC得BD⊥AC，上AC⊥AB，得AC⊥平面ABDE，从而知∠CDA是直线CD与平面ABDE所成的角为30°，这样可求得AC与BC的关系从而确定是等腰直角三角形，于是取BC中点为O，有AO⊥BC，因此可证AO⊥平面CBD，又可证AOME是平行四边形，即得AO//EM，于是有EM⊥平面BCD，最终可证得面面垂直；

(Ⅱ) 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,写出各点坐标，然后求出平面BCE和平面BEM的法向量，利用向量法可求得二面角.

详解：

(Ⅰ)连接，取的中点为，连接.

因为平面平面，所以，

又,所以平面，

则为直线与平面所成的角，即.

所以,

所以是等腰直角三角形，则，

又平面,所以，所以平面.

又分别是的中点，所以又，所以 ,

故四边形是平行四边形,所以,

所以平面,又平面，所以平面平面.

(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,

则,

所以.

设平面 的法向量为,则，即,解得,

令，得；

设平面的法向量为，则,即,解得,

令，得；

所以,

所以二面角的大小为60°.