Question

设函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=l时，求函数f（x）在区间[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，在区间[-1，1]上恒成立，求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用求导求出f（x）的单调区间，然后再分类讨论．求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
∴f′（x）=x²+（1-a）x-a≤0，在区间[-1，1]上恒成立，
即

f(1)≤0 f(-1)≤0

解得，a≥1；
（Ⅱ）当a=1，f（x）=

1

3

x3-x-1，
∴f′（x）=x²-1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1），
由于f（-2）=-

5

3

，f（1）=-

5

3

，
∴f（-2）=f（1），
①当t+3＜1，即t＜-2时，
[f(x)]min=f(t)=

1

3

t3-t-1，
②当-2≤t＜1时，
[f(x)]min=f(1)=

5

3

，
③当t≥1时，f（x）=0在区间[t，t+3]上单调递增，
[f(x)]min=f(t)=

1

3

t3-t-1，
综上可知，函数f（x）在区间[t，t+3]上的最小值为[f（x）]=

1 3 t2-t-1，   t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，            t∈[-2，1)

．

点评：本小题主要考查导数的计算，应用导数研究函数的单调性，分类讨论的思想，用数学知识解决问题的能力．