Question

4．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）与圆C交于A，B两点，且$|{AB}|=\sqrt{15}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；
（2）求出直线l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值．

解答 解：（1）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），普通方程为（x-2）²+y²=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；
（2）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得$\sqrt{3}$y-x+m=0，
圆心C到直线的距离d=$\frac{|m-2|}{2}$，
|AB|=2$\sqrt{4-\frac{（m-2）^{2}}{4}}$=$\sqrt{15}$，∴m=1或3．

点评 本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．