Question

12．点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式
①$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$；
②sin2A•$\overrightarrow{OA}$+sin2B•$\overrightarrow{OB}$+sin2C•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$；
③a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$；
④tanA•$\overrightarrow{HA}$+tanB•$\overrightarrow{HB}$+tanC•$\overrightarrow{HC}$=$\overrightarrow{0}$．
其中一定正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据三角形（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心的向量表示与运算性质，对选项中的命题逐一进行分析、判断正误即可．

解答 解：对于①，点G是△ABC的重心，如图①所示，

所以$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
同理$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$），
∴$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{BG}$+$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{0}$，
所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，命题正确；
对于②，点O是△ABC的外心，如图②所示，

OA=OB=OC，
所以S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，
所以sin2A•$\overrightarrow{OA}$+sin2B•$\overrightarrow{OB}$+sin2C•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，命题正确；
对于③，点I是△ABC的内心，如图所示，

所以S_△BIC：S_△AIC：S_△AIB=a：b：c，所以a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$，命题正确；
对于④，点H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如图所示，

所以S_△BHC：S_△AHC：S_△ANB=tanA：tanB：tanC，
所以tanA•$\overrightarrow{HA}$+tanB•$\overrightarrow{HB}$+tanC•$\overrightarrow{HC}$=$\overrightarrow{0}$，命题正确．
综上，以上正确的命题有4个．
故选：D．

点评 本题考查了非直角三角形的外心、内心、垂心和重心的向量表示与性质的应用问题，是综合性题目．