Question

定义区间[x₁，x₂]长度为x₂-x₁，（x₂＞x₁），已知函数f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

 （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、a＞1或a＜-3
• C、a＞1
• D、3

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：得出

f(m)=m f(n)=n

，故m，n是方程）=

a+1

a

-

1

a2x

=x的同号的相异实数根，即a²x²-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=

1

a2

，只需△=a²（a+3）（a-1）＞0，a＞1或a＜-3，利用函数求解n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，n-m取最大值为

2 3

3

．此时a=3，

解答： 解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数f（x）=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上单调递增，则

f(m)=m f(n)=n

，
故m，n是方程）=

a+1

a

-

1

a2x

=x的同号的相异实数根，
即a²x²-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根
∵mn=

1

a2

∴m，n同号，只需△=a²（a+3）（a-1）＞0，
∴a＞1或a＜-3，n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
n-m取最大值为

2 3

3

．此时a=3，
故选：D

点评：本题考查了函数性质的方程的运用，属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．