Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求二面角C-DA₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证线面垂直，主要是借助于线面垂直的判定，因此想方设法在平面ABC内找到两条相交且与BB₁垂直的直线即可；
（2）以C为原点，分别以

CB

，

CC1

，

CA

的方向方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，AB∩A₁D=D，
∴CD⊥平面AA₁B₁B，∴CD⊥BB₁，
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC；
（2）以C为原点，分别以

CB

，

CC1

，

CA

的方向方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立
空间直角坐标系（如图所示），

则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C₁（0，2，0），A₁（0，2，2），D（1，0，1）．
设

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面DCA₁的法向量，
则有

n1 • CD =0 n1 • CA1 =0

，即

x1+z1=0 2y1+2z1=0

，∴

x1=-z1 y1=-z1

，故可取

n1

=（1，1，-1）．
同理设

n2

=（x₂，y₂，z₂）是平面DC₁A₁的法向量，且

C1D

=（1，-2，1），

C1A1

=（0，0，2）．
则有

n2 • C1D =0 n2 • C1A1 =0

，即

x2-2y2+z2=0 2z2=0

，∴

x2=y2 z2=0

．故可取

n2

=（2，1，0）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞═

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

3 × 5

=

15

5

．
又二面角C-DA₁-C₁的平面角为锐角，所以其余弦值为

15

5

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，属中档题．