Question

设a为实数, 函数f（x）＝x³－x²－x＋a．
（1）求f（x）的极值;
（2）若曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的极大值是f（）＝,极小值是f（1）＝a－1．
（2）当时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为a为实数, 函数f（x）＝x³－x²－x＋a．求解导数，结合导数的符号判定单调性得到
f（x）的极值;
（2）因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点，结合导数的思想判定得到。
（1）＝3x²－2x－1．若＝0,则x＝－或x＝1     ………… 2分
当x变化时，、f（x）的变化情况如下表:

				1
	＋	0	－	0	＋
f（x）		极大值		极小值

 
…………4分
所以f（x）的极大值是f（）＝,极小值是f（1）＝a－1．………… 6分
（2）函数f（x）＝x³－x²－x＋a＝（x－1）²（x＋1）＋a－1．
由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．                  …………8分
结合f（x）的单调性可知,
当f（x）的极大值<0,即a时，它的极小值也小于0．
因此曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点,它在（1,＋）上．
当f（x）的极小值a－1>0,即a时，它的极大值也大于0．
因此曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点,它在（）上．
所以当时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．…… 12分