本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数的单调性和函数的极值,以及函数与不等式的综合运用。
(1)先求解函数的定义域,然后求解导数,令导数大于零或者小于零得到单调区间。
(2)由⑴得当
时函数
无极值点,接下来对于参数b,进行分类讨论,看导数为零的解,进而确定极值的问题。
(3)当
时,函数
,令函数
,
则
,当
时,
函数
在
上单调递增,又
,
时,恒有
即
恒成立,从而得到证明。
解:⑴由题意知
的定义域为
(1分),
设
,其图象的对称轴为
,
当
时,
,即
在
上恒成立,
当
时,
当
时函数
在定义域
上单调递增。………………………(3分)
⑵①由⑴得当
时函数
无极值点………………………(4分)
②
时,
有两个相同的解
时,
,
时,
函数
在
上无极值点………………………(5分)
③当
时,
有两个不同解,
,
时
,
,即
时,
、
随
的变化情况如下表:
由此表可知
时,
有唯一极小值点
;………………(7分)
当
时,
,
,此时,
、
随
的变化情况如下表:
由此表可知:
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;……………(9分)
综上所述:
时,
有唯一极小值点
;
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点。(10分)
⑶当
时,函数
,令函数
,
则
,当
时,
函数
在
上单调递增,又
,
时,恒有
即
恒成立…………………………(12分)
故当
时,有
…………………………(13分)
对任意正整数
,取
,则有
,故结论成立。……(14分)