Question

8．椭圆过点（2，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{7}$，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设F₁，F₂是椭圆的焦点，椭圆在第一象限的部分上有一点P满足∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面积和点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法建立方程关系即可，求椭圆的标准方程；
（2）根据三角形的余弦定理以及三角形的面积公式进行求解．

解答 解：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
代入$（2，\sqrt{3}），（\sqrt{7}，\frac{3}{2}）$得，$\left\{{\begin{array}{l}{4m+3n=1}\\{7m+\frac{9n}{4}=1}\end{array}}\right.$，解得$m=\frac{1}{16}，n=\frac{1}{4}$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$…（4分）
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由（1）知道m+n=2a=8…..①
在△F₁PF₂中，由余弦定理得m²+n²-2mncos60°=（2c）²=48…..②
由①②联立得，$mn=\frac{16}{3}$，所以${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}mnsin{60^0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…．（8分）
设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则有${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}（2c）{y_0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，{y_0}=\frac{2}{3}$，
代入椭圆方程得${x_0}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，所以点P的坐标为$（{\frac{{8\sqrt{2}}}{3}，\frac{2}{3}}）$…..（12分）

点评 本题主要考查椭圆的方程以及三角形面积的应用，考查学生的运算能力．