Question

11．如图所示，在四较锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，CD⊥平面BEC，G是线段BE上一点，F是线段DC的中点且GF∥平面ADE，AB=BE=EC=2．
（1）求证：GB=GE；
（2）若BE⊥CE，求直线DG与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点H，BC中点O，连接OE，OH，根据条件可分别以OE，OC，OH三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设OC=a，这样可表示出图形上各点的坐标，可求得$\overrightarrow{AD}=（0，2a，0），\overrightarrow{AE}=（\sqrt{4-{a}^{2}}，a，-2）$．可设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，可设G（x，y，0），根据条件知道$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{GF}$，从而得到$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=0$，能求出G点的横坐标，根据坐标即可说明G为BE的中点，从而得出GB=GE；
（2）由BE⊥CE便可求出a=$\sqrt{2}$，带入（1）中得到的各点坐标，即可确定这些点的坐标，可设平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，根据上面求法向量的过程求出$\overrightarrow{m}$，然后可设直线DG和平面AEF所成角为θ，则根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{DG}，\overrightarrow{m}＞|$即可求出直线DG与平面AEF所成角的正弦值．

解答 解：（1）证明：根据已知，取BC边的中点O，AD的中点H，连接OE，OH，则OE，OC，OH三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示坐标系，设OC=a，则：
A（0，-a，2），B（0，-a，0），C（0，a，0），D（0，a，2），E（$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，0），F（0，a，1）；
设G（x，y，0），∴$\overrightarrow{GF}=（-x，a-y，1）$，$\overrightarrow{AD}=（0，2a，0）$，$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{4-{a}^{2}}，a，-2）$；
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2a{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{4-{a}^{2}}{x}_{1}+a{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，则$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}）$；
∵GF∥平面ADE；
∴$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}=-x+\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}=0$；
∴$x=\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}$；
∴$G（\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}，y）$；
∴G为BE中点；
∴GB=GE；
（2）若BE⊥CE，则BC=2$\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2}$；
∴可确定以下几点坐标：
$A（0，-\sqrt{2}，2）$，$E（\sqrt{2}，0，0）$，$F（0，\sqrt{2}，1）$，$D（0，\sqrt{2}，2）$，B（$0，-\sqrt{2}，0$），G（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，0$）；
∴$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（0，2\sqrt{2}，-1）$，$\overrightarrow{DG}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{2}，-2）$；
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{2}{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=2\sqrt{2}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3{y}_{2}}\\{{z}_{2}=2\sqrt{2}{y}_{2}}\end{array}\right.$，取y₂=1，则$\overrightarrow{m}=（3，1，2\sqrt{2}）$；
设直线DG和平面AEF所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{DG}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DG}|}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}•3}=\frac{4}{9}$；
即直线DG和平面AEF所成角的正弦值为$\frac{4}{9}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面平行及线面角等立体几何问题的方法，线面垂直的判定定理及性质，平面法向量的概念及求法，线面平行时，直线和平面的法向量垂直，向量垂直的充要条件，以及线面角的定义及求法，弄清线面角和直线的方向向量和平面法向量夹角的关系．