Question

如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求与的值；

（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的离心率，即寻找关于a,c的等式，而题中已知了，在椭圆中有代入已知等式，可获得关于a,c的等式，从而可求得离心率的值；（2）因为当点恰为椭圆的右顶点时，对应的，此时点C的坐标可表表示为(a,0),再由及可用a将点A的坐标表示出来，因为点在已知椭圆上，将A点坐标代入可得到关于a,b的一个方程，联立可解出a,b的值；（3）注意由（2）结论可得到：椭圆的方程为，应用点差法：设出，由得到①，再由得到②；再将A，B两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线AB的斜率用A，B两点的坐标来表示，同理将C，D两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线CD的斜率用C，D两点的坐标来表示，由平面几何知识可知AB//CD，所以=，再将①②代入即可求出含与的方程，可解得的值，此值若与有关，则不是定值，此值若与无关，则是定值.

试题解析：（1）因为，所以，得，即，

所以离心率. 4分

（2）因为，，所以由，得， 7分

将它代入到椭圆方程中，得，解得，

所以. 10分

（3）法一：设，

由，得， 12分

又椭圆的方程为，所以由，

得 ①， 且 ②，

由②得，，

即，

结合①，得， 14分

同理，有，所以，

从而，即为定值. 16分

法二：设，

由，得，同理， 12分

将坐标代入椭圆方程得，两式相减得

，

即， 14分

同理，，

而，所以，

所以，

所以，

即，所以为定值. 16分

（说明：只给对结论但未正确证明的，给2分）

考点：1.椭圆的离心率;2.椭圆的方程;3.圆锥曲线的定值问题.