Question

10．已知函数f（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}$+x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．
（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．
（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，求出切线的斜率，切点的坐标，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．
（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae^x（x-1）+x²，g′（x）=x（ae^x+2）=0，x=ln（-$\frac{2}{a}$）．由此证明当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．
（Ⅲ）存在实数a，使得函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值，a的取值范围是a＞0．由（II）知，a＜0时，f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点，a=0时，f（x）=x无极值点．a＞0时，g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}$+x，
∴f′（x）=$\frac{a{e}^{x}（x-1）+{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=1，f（1）=ae+1，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），
∴f′（1）=$\frac{f（1）-1}{1-0}$，
∴a=$\frac{1}{e}$．
证明：（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；
x＞0，令g（x）=ae^x（x-1）+x²，g′（x）=x（ae^x+2）=0，x=ln（-$\frac{2}{a}$）．
①ln（-$\frac{2}{a}$）≤0，a≤-2，g′（x）≤0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；
②ln（-$\frac{2}{a}$）＞0，-2＜a＜0，x∈（0，ln（-$\frac{2}{a}$）），g′（x）＞0，g（x）在（0，ln（-$\frac{2}{a}$））上单调递增，x∈（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞），g′（x）＜0，g（x）在（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞），上单调递减，
∵g（ln（-$\frac{2}{a}$））＞g（0）=-a＞0
∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；
综上所述，a＜0时，f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；
解：（Ⅲ）存在实数a，使得函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值，a的取值范围是a＞0．
由（II）知，a＜0时，f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点，a=0时，f（x）=x无极值点．
a＞0时，g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
①下面研究f（x）在（0，+∞）上的极值情况：
∵g（0）=-a＜0，g（1）=1＞0，∴存在实数x₁∈（0，1），使得g（x₁）=0，x∈（0，x₁），g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，x₁）上递减；
x∈（x₁，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在（x₁，+∞）上递增；
∴在（0，+∞）上，函数f（x）的极小值为f（x₁），无极大值；
②下面考虑f（x）在（-∞，0）上的极值情况：
当0＜a≤1时，g（-1）=1-$\frac{2a}{e}$＞0；
当a＞1时，g（-1+ln$\frac{1}{a}$）=$（ln\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}{e}-2）ln\frac{1}{a}+1-\frac{2}{e}$，
令ln$\frac{1}{a}$=t（t＜0），令h（t）=${t}^{2}+（\frac{1}{e}-2）t+1-\frac{2}{e}$，
∵h（t）在（-∞，0）上单调递减，
∴h（t）＞h（0）=1-$\frac{2}{e}$＞0，即g（-1+ln$\frac{1}{a}$）＞0，
综上所述，∵g（0）=-a＜0，
∴存在实数x₂∈（-∞，0），使得g（x₂）=0，且x∈（x₂，0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x₂，0）上递减；x∈（-∞，x₂）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，x₂）上单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）上，f（x）的极大值为f（x₂），无极小值，
∵x₂＜0＜x₁，且a＞0，
∴f（x₂）＜0＜f（x₁），
∴当且仅当a＞0时，函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，难度大．