Question

19．设圆x²+y²+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C₁，直线l交C₁于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=-m（x-1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：圆x²+y²+2x-15=0即为（x+1）²+y²=16，
可得圆心A（-1，0），半径r=4，
由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，
由AC=AD，可得∠D=∠C，
即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，
则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有2a=4，即a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则点E的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，设直线l：x=my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y=-m（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
则|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{m}^{2}}{（3{m}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{\sqrt{36（4{m}^{2}+4）}}{3{m}^{2}+4}$=12•$\frac{1+{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，
A到PQ的距离为d=$\frac{|-m（-1-1）|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{|2m|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{16-\frac{4{m}^{2}}{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3{m}^{2}+4}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
则四边形MPNQ面积为S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{3{m}^{2}+4}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•12•$\frac{1+{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$
=24•$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{3{m}^{2}+4}}$=24$\sqrt{\frac{1}{3+\frac{1}{1+{m}^{2}}}}$，
当m=0时，S取得最小值12，又$\frac{1}{1+{m}^{2}}$＞0，可得S＜24•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8$\sqrt{3}$，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．