Question

7．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁，下部的形状是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图所示），并要求正四棱柱的高O₁O是正四棱锥的高PO₁的4倍．
（1）若AB=6m，PO₁=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO₁为多少时，仓库的容积最大？

Answer 1

分析 （1）由正四棱柱的高O₁O是正四棱锥的高PO₁的4倍，可得PO₁=2m时，O₁O=8m，进而可得仓库的容积；
（2）设PO₁=xm，则O₁O=4xm，A₁O₁=$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，A₁B₁=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．

解答 解：（1）∵PO₁=2m，正四棱柱的高O₁O是正四棱锥的高PO₁的4倍．
∴O₁O=8m，
∴仓库的容积V=$\frac{1}{3}$×6²×2+6²×8=312m³，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，
设PO₁=xm，
则O₁O=4xm，A₁O₁=$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，A₁B₁=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，
则仓库的容积V=$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$）²•x+（$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$）²•4x=$-\frac{26}{3}$x³+312x，（0＜x＜6），
∴V′=-26x²+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2$\sqrt{3}$时，V′＞0，V（x）单调递增；
当2$\sqrt{3}$＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；
故当x=2$\sqrt{3}$时，V（x）取最大值；
即当PO₁=2$\sqrt{3}$m时，仓库的容积最大．

点评 本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．