Question

（1）找出一个等比数列，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是的第几项；

（2）证明：为无理数；

（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．

Answer 1

解答】：（1）取首项为1，公比为，则，    ……………………2分

则．                                ……………………4分

（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数，使得，………………5分

则，所以为偶数，                                ……………………7分

设，为整数，则，所以也为偶数，

则有公约数2，这与互质相矛盾，                     ……………………9分

所以假设不成立，所以是有理数．                        ……………………10分

（3）证明：假设，，4是同一等差数列中的三项，

且分别为第项且互不相等，                    ……………………11分

设公差为，显然，则，，

消去得，，                             ……………………13分

由，，都为整数，所以为有理数，

由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，               ……………………15分

所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …………………16分