Question

设数列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，  (k∈N^*)时，a_n＝(－1)^k－1k，记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用数学归纳法证明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．

Answer 1

证明：①当i＝1时，S_i(2i＋1)＝S₃＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假设当i＝m时，等式成立，即S_m(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

则当i＝m＋1时，

S_{(m＋1)[2(m＋1)＋1]}＝S_{(m＋1)(2m＋3)}＝S_m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)²＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)² ＝－(2m²＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

综合①②得：S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．