Question

16．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$） 满足f（x）≤f（$\frac{π}{3}$），则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． [2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• B． [2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）
• C． [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• D． [kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由f（x）≤f（$\frac{π}{3}$），对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（$\frac{π}{3}$）等于函数的最大值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．

解答 解：若f（x）≤f（$\frac{π}{3}$），对x∈R恒成立，则f（$\frac{π}{3}$）等于函数的最大值，
即2×$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
令2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
解得x∈[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
则f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于中档题．