Question

8．已知函数f（x）=x-2lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值和单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，由极值的定义，可得极值．

解答 解：（1）函数f（x）=x-2lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
即有在点A（1，f（1））处的切线斜率为k=1-2=-1，切点为（1，1），
则曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），
即为y=2-x；
（2）函数f（x）=x-2lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，x＞0，
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）；
x=2处，f（x）取得极小值，且为2-2ln2，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．