Question

18．已知焦点为（0，1），（0，-1）的椭圆C与直线l：y=-x+1交于 A，B两点，M为 A B的中点，直线 O M的斜率为2．焦点在y轴上的椭圆 E过定点（1，4），且与椭圆C有相同的离心率．过椭圆C上一点作直线y=kx+m（m≠0）交椭圆 E于 M，N两点．
（I）求椭圆C和椭圆 E的标准方程；
（II）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），将直线y=1-x代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，由直线的斜率，解方程可得椭圆C的方程；设椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1，代入定点（1，4），再由离心率公式，解方程可得E的方程；
（II）设（x₀，y₀）为椭圆C上一点，可设x₀=cosα，y₀=$\sqrt{2}$sinα，0≤α＜2π，求得|m|≤$\sqrt{2+{k}^{2}}$，将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理和弦长公式，由点到直线的距离公式和三角形的面积，运用二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）设椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
由题意可得c₁=1，
将直线y=1-x代入椭圆C的方程，可得，（a₁²+b₁²）x²-2b₁²x+b₁²-a₁²b₁²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{2{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}$，则中点M的坐标为（$\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}$，$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}$），
由题意可得k_OM=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=2，又a₁²-b₁²=1，解方程可得a₁²=2，b₁²=1，即有椭圆$C：\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$；
设椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1，由题意可得$\frac{16}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{b}_{2}}^{2}}$=1，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$，c₂²=a₂²-b₂²，
解方程可得a₂=3$\sqrt{2}$，b₂=3，即有椭圆$E：\frac{y^2}{18}+\frac{x^2}{9}=1$；
（II）设（x₀，y₀）为椭圆C上一点，
可设x₀=cosα，y₀=$\sqrt{2}$sinα，0≤α＜2π，
由直线y=kx+m过（x₀，y₀），可得m=kx₀-y₀=kcosα-$\sqrt{2}$sinα，可得|m|≤$\sqrt{2+{k}^{2}}$，
由y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（2+k²）x²+2kmx+m²-18=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-18}{2+{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{2km}{2+{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（{m}^{2}-18）}{2+{k}^{2}}}$，
O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即有△OMN的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=|m|•$\sqrt{\frac{18（2+{k}^{2}）-2{m}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
由S²=$\frac{18{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{2{m}^{4}}{（2+{k}^{2}）^{2}}$=-2（$\frac{{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，
由m²≤2+k²，可得$\frac{{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$≤1，
即有S²的最大值为-2（1-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$=16，
则△OMN的面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于难题．