Question

3．对a＞0且a≠1的所有正实数，函数y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的图象和性质，可得定点P坐标（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），进而根据P在幂函数f（x）的图象上，可得幂函数f（x）的解析式，将x=9代入可得答案．

解答 解：令2x-3=1，则x=2，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$恒成立，
故函数y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的图象恒过定点P（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
若P在幂函数f（x）=x^a的图象上，
∴2^a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，即f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$，
∴f（9）=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，幂函数的图象和性质，难度中档．