Question

已知函数f（x）=x^-1，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）内是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先判断出函数是奇函数，再求出函数的定义域，并判断是否关于原定对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性下结论；
（Ⅱ）利用函数的单调性定义对应的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x^-1是奇函数，证明如下：
函数f（x）=x^-1的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
因为f（-x）=（-x）^-1=-x^-1=-f（x），
所以函数f（x）=x^-1是奇函数；
（Ⅱ）证明：任设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）内是减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的定义，以及利用函数即偶性和单调性定义进行证明，一定要注意所取的自变量的任意性，属于基础题．