Question

已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F₁MF₂=

π

3

，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）

• A、2
• B、

  2 3

  3

• C、

  4 3

  3

• D、4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．

解答： 解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a₁，（a＞a₁），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂
∵∠F₁MF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

，①
在椭圆中，①化简为即4c²=4a²-3r₁r₂，
即

3r1r2

4c2

=

1

e12

-1，②
在双曲线中，①化简为即4c²=4a₁²+r₁r₂，
即

r1r2

4c2

=1-

1

e22

，③
联立②③得，

1

e12

+

3

e22

=4，
由柯西不等式得（1+

1

3

）（

1

e12

+

3

e22

）≥（1×

1

e1

+

1

3

×

3

e2

）²，
即（

1

e1

+

1

e2

）²≤

4

3

×4=

16

3

，
即

1

e1

+

1

e2

≤

4 3

3

，
当且仅当e₁=

3

3

，e₂=

3

时取等号．即取得最大值且为

4 3

3

．
故选C．

点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．