Question

设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1），利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=2，当n=1时，a₁=S₁=

1

4

(a1+3)(a1-1)，解得a₁，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1），∴当n≥2时，S_n-1=

1

4

(an-1+3)(an-1-1)，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）-

1

4

(an-1+3)(an-1-1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
当n=1时，a₁=S₁=

1

4

(a1+3)(a1-1)，a₁＞0，解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）可得b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2n+2[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=2n+2(1-

1

2n+1

)
=2n+

4n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．