Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC＝1，∠BCC₁＝．

(1)求证：C₁B⊥平面ABC；

(2)试在棱CC₁(不包含端点C、C₁)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；

(3)在(2)的条件下，求二面角A－EB₁－A₁的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)因为侧面，故 　　在中， 　　由余弦定理有 　　 　　故有 　　而　且平面 　　　　4分 　　(2)由 　　从而　且故 　　不妨设，则，则 　　又　则 　　在中有　从而(舍负) 　　故为的中点时，　　8分 　　法二：以为原点为轴，设， 　　则 　　由　得 　　即 　　化简整理得　或 　　当时与重合不满足题意 　　当时为的中点，故为的中点使　　8分 　　(3)取的中点，的中点，的中点，的中点 　　连则，连则，连则 　　连则，且为矩形， 　　又　故为所求二面角的平面角． 　　在中， 　　 　　　　12分 　　法二：由已知，所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 　　因为　 　　故　　12分