Question

如图所示的几何体是由一个棱长为2的正四面体和一个半圆锥组成，点O为半圆的圆心，E为BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面ADE；
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用平面几何的性质，以及直线与平面垂直的判定和性质定理，即可得证；
（2）先求正四面体D-ABC的体积，作DH⊥平面ABC，∴V_D-ABC=

1

3

S_△ABC•DH，再求半圆锥的体积，其高为
OD，底面半径为1，运用圆锥的体积公式即可，最后将两体积相加即可．

解答： 解：（1）连接OA，OD，OE，
∵O为半圆的圆心，E为圆弧BC的中点，∴BC⊥OE，
∵BD=CD，OB=OC，∴BC⊥OD，
∵OE，OD?平面ODE，OD∩OE=O，
∴BC⊥平面ODE，DE?平面ODE，
∴BC⊥DE，同理可得BC⊥AD，
∵AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，
∴BC⊥平面ADE；
（2）由于三棱锥D-ABC为棱长为2的正四面体，
作DH⊥平面ABC，则H为△ABC的重心，∴AH=

2

3

AO=

2

3

AB2-OB2

=

2 3

3

，
在直角△DAH中，DH=

DA2-AH2

=

4- 4 3

=

2 6

3

，
∵S_△ABC=

3

4

×4=

3

，∴V_D-ABC=

1

3

×

3

×

2 6

3

=

2 2

3

．
∵几何体D-BEC为半圆锥，且其高为OD=

DB2-OB2

=

3

，
底面半径为1，∴V_半圆锥=

1

2

×

1

3

π×

3

=

3 π

6

，
∵几何体是由一个棱长为2的正四面体和一个半圆锥组成，
∴该几何体的体积为V=

2 2

3

+

3 π

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查三棱锥的体积和圆锥的体积的运算，属于中档题．