Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x-1被圆心在原点O的圆截得的弦长为$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点A在椭圆2x²+y²=4上，点B在直线x=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆C的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆O的半径为r，利用圆心到直线的距离d与弦长的一半组成直角三角形，利用勾股定理求出半径，即可写出圆的方程．
（Ⅱ）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=2相切．

解答 解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，则圆心O到直线y=x-1的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又直线被圆O所截得的弦长为$\sqrt{6}$，
所以r²=$\frac{1}{2}$+$\frac{6}{4}$=2，
所以圆O的方程为x²+y²=2．
（Ⅱ）直线AB与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
当x₀=t时，y₀=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入椭圆C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直线AB的方程为x=±$\sqrt{2}$，圆心O到直线AB的距离d=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线AB的方程为y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，是中档题．