Question

已知函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为

π

2

，
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的正弦公式的应用，化简f（x）的解析式，求出周期．
（2）利用余弦定理求出角x的范围，利用正弦汗水due单调性求出函数f（x）的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx
=

3

2

sin2ωx - 

1

2

cos2ωx - 

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．
由f（x）的周期 T=

2π

2ω

=

π

2

，求得ω=2．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（4x-

π

6

 ）-

1

2

，由题意，得 cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
又∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（4x-

π

6

 ）≤1，
∴-1≤sin（4x-

π

6

 ）-

1

2

≤1-

1

2

=

1

2

，故f（x）的值域为[-1，

1

2

]．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用，化简f（x）的解析式，是解题的突破口，属于中档题．