Question

已知函数f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-

3

2

，2]上的最值；
（2）若函数f（x）在[-

3

2

，2]上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时 f(x)=x2+x-3=(x+

1

2

)2-

13

4

，x∈[-

3

2

，2]，再利用二次函数的性质求得它的最值．
（2）由于函数图象的对称轴为 x=-

2a-1

2

，分对称轴比较靠近所给区间的左侧、右侧两种情况，分别利用二次函数的性质、以及f（x）在[-

3

2

，2]上的最大值为1，求得实数a的值．

解答： 解：（1）当a=1时 f(x)=x2+x-3=(x+

1

2

)2-

13

4

，x∈[-

3

2

，2]，
故当x=-

1

2

时，函数取得最小值为-

13

4

；当x=2时，函数取得最大值为3．
（2）由于函数图象的对称轴为 x=-

2a-1

2

，当-

2a-1

2

＜

- 3 2 +2

2

=

1

4

 时，即a＞

1

4

时，
则当x=2时，函数取得最大值为4a-1=1，解得a=

1

2

．
当

1

4

≤-

2a-1

2

时，即a≤

1

4

 时，则当x=-

3

2

时，函数取得最大值为

3

4

-3a=1，求得 a=-

1

12

．
综上可得，a=

1

2

，或 a=-

1

12

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．