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【题目】设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.

1)求椭圆的方程;

2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线轴的交点,点轴的负半轴上.若为原点),且,求证:直线的斜率与直线MN的斜率之积为定值.

【答案】12)证明见解析

【解析】

(1)由题意可得,运用离心率公式和的关系,可得,进而得到所求椭圆方程;

(2)由题意设,直线的方程为,联立椭圆方程,求得的坐标,再求出的坐标,由,运用斜率之积为,可以得出的值,结合即可得结果.

(1)设椭圆的半焦距为,依题意

可得

所以椭圆的方程为.

(2)由题意设.

设直线的斜率为

,则直线的方程为

与椭圆方程联立整理得

可得,代入

进而直线的斜率.

中,令,得.

由题意得,所以直线的斜率为.

,得,化简得.

.

所以直线与直线的斜率之积为定值.

练习册系列答案
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