Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)2.

【解析】

（Ⅰ）连接，在菱形中可得，又，进而可得平面，于是得到平面，所以可得结论成立．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设，二面角的余弦值为可得，即，然后根据椎体的体积公式求解即可．

（Ⅰ）连接，

∵菱形中，，

∴为等边三角形，又为中点，

∴．

又，则，

又，

∴平面，

又，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）∵平面 平面，且交线为，，平面,

∴，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，

则，

设平面的一个法向量为，

则，即，可取

又平面的法向量可取，

由题意得，

解得，即，

又菱形的面积，

∴四棱锥的体积为．