Question

14．已知f（x）=$\frac{bx+1}{{{{（ax+1）}^2}}}（x≠-\frac{1}{a}，a＞0）$，且f（1）=$\frac{1}{4}$，f（-2）=1
（1）求函数f（x） 的表达式；
（2）已知数列{x_n} 的项满足x_n=（1-f（1））（1-f（2））…（1-f（n）），猜想{x_n} 的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）列方程组计算a，b得出f（x）；
（2）计算x₁，x₂，x₃，根据前三项猜想通项公式，并用数学归纳法证明．

解答 解：（1）∵f（1）=$\frac{1}{4}$，f（-2）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{（a+1）^{2}}=\frac{1}{4}}\\{\frac{-2b+1}{（-2a+1）^{2}}=1}\end{array}\right.$，又a＞0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$．
（2）x₁=1-f（1）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$；
x₂=（1-f（1））（1-f（2））=$\frac{3}{4}×$$\frac{8}{9}$=$\frac{2}{3}$，
x₃=（1-f（1））（1-f（2））（1-f（3））=$\frac{5}{8}$，
猜想：x_n=$\frac{n+2}{2n+2}$．
证明：①当n=1时，猜想显然成立，
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即x_k=$\frac{k+2}{2k+2}$．
则x_k+1=x_k（1-f（k+1））=$\frac{k+2}{2k+2}$•（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）=$\frac{k+2}{2k+2}•$$\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$=$\frac{k+1+2}{2（k+1）+2}$．
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴对任意n∈N⁺，都有x_n=$\frac{n+2}{2n+2}$．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，数学归纳法证明，属于中档题．