Question

6．已知曲线C：f（x）=x³-x+3
（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f'（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）运用导数的定义，求得△y，和f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$，计算即可得到所求；
（2）由导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）△y=f（x+△x）-f（x）=（x+△x）³-（x+△x）+3-x³+x-3
=3x²△x+3x△x²+△x³-△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=3x²+3x△x+△x²-1，
则导函数f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$（3x²+3x△x+△x²-1）=3x²-1；
（2）由f（x）得f′（x）=3x²-1，
设所求切线的斜率为k，
则k=f′（1）=3×1²-1=2，
又f（1）=1³-1+3=3，
所以切点坐标为（1，3），
由点斜式得切线的方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0．

点评 本题考查导数的定义和运用：求切线的方程，注意运用定义法和直线方程，考查运算能力，属于基础题．