Question

17．如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）π$
• B． $\frac{25}{4}（3-2\sqrt{2}）π$
• C． $25（3-2\sqrt{2}）π$
• D． $\frac{125}{6}（5\sqrt{2}-7）π$

Answer 1

分析 由题意画出原几何体，利用面积相等求得r=$\frac{ab}{a+b+5}$，由a²+b²=25借助于基本不等式求得0＜$\sqrt{ab}≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$，r≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$，令t=$\sqrt{ab}$换元，利用导数求出$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$的最大值，代入球的体积公式得答案．

解答 解：由三视图还原原几何体如图：

几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，
由等面积法求得r=$\frac{ab}{a+b+5}$，且a²+b²=25．
由基本不等式得：r=$\frac{ab}{a+b+5}$≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$，
又0＜ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}=\frac{25}{2}$，即0＜$\sqrt{ab}≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，等号成立．
令t=$\sqrt{ab}$，则r$≤\frac{{t}^{2}}{2t+5}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}}{2t+5}$，f′（t）=$\frac{2t（t+5）}{（2t+5）^{2}}$＞0在（0，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$]上成立，
∴f（t）=$\frac{{t}^{2}}{2t+5}$在（0，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$]上为增函数，则${r}_{max}=f（\frac{5\sqrt{2}}{2}）=\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）$．
∴内切球体积的最大值为$\frac{4}{3}π•[\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）]^{3}$=$\frac{125}{6}（5\sqrt{2}-7）π$．
故选：D．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积，训练了利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式在求解最值问题中的应用，属难题．